Смирнов В.И., Крылов В.И., Канторович Л.В. Вариационное исчисление

Учебное пособие. — Ленинградский гос. ун-т. — Л.: Кубуч, 1933. — 204 с.Настоящая книга выпускается в качестве пособия для студентов математического и физического факультетов Ленинградского университета. В ее основе лежат лекции, которые читались мною несколько лет тому назад студентам-физикам. Объем этих лекций был значительно меньше объема выпускаемой книги, которая, как мы уже упоминали, предназначается не только для физиков, но и для математиков. В связи с этим пришлось добавить большой новый материал. Вся эта книга составлена Л. В. Канторовичем и В. И. Крыловым. Главы I, IV и V написаны Л. В. Канторовичем, а главы II, Ш и VI—В. И. Крыловым.Уравнение Эйлера
Общие замечания.
Две задачи.
Понятие о функционале.
Две леммы.
Постановка основной задачи.
Первая вариация. Уравнение Эйлера.
Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Некоторые обобщения основной задачи.
Примеры.
Экстремум двойного интеграла.
Уравнения Эйлера для параметрической формы задания кривых.
Геодезические линии n-мерного пространства.
Дополнения и задачи.
Связанные задачи вариационного исчисления
Голономные связи.
Неголономные связи.
Изопериметрическая задача.
Дополнения и задачи.
Общая форма первой вариации. Предельные условия. Приложения к механике
Общая форма первой вариации.
Естественные предельные условия.
Условия трансверсальности.
Вариационные принципы механики.
Приложение вариационных принципов механики к некоторым задачам математической физики.
Дополнения и задачи.
Теория поля
Поле экстремалей.
Поле трансверсалей.
Уравнение Гамильтона-Якоби.
Общий и полный интеграл уравнения в частных производных.
Эквивалентность задачи интегрирования уравнения Эйлера и уравнения Гамильтона-Якоби.
Примеры.
Теория поля для трёх переменных.
Теорема Якоби.
Некоторые дополнительные вопросы: достаточные условия, разрывные решения, условия Якоби
Достаточные условия существования экстремума.
Два примера на абсолютный экстремум.
Разрывные решения.
Условия Якоби.
Прямые методы вариационного исчисления. Приложения к математической физике
Общие замечания. Идея прямых методов.
Метод Ритца.
Метод функций бесконечного множества аргументов.
Метод Эйлера.
Применения к интегрированию уравнений.
Доказательство сходимости процесса Ритца.
Приложение метода Ритца к приближённому вычислению характеристических чисел и фундаментальных функций.
Примеры применения прямых методов.
Экстремальные свойства характеристических чисел и фундаментальных функций. Теорема Куранта.
Приложение к оценке роста характеристических чисел.
Дополнения и задачи.