Акимов В.Н., Коновалова И.Н. Комплексные числа, комплексные векторы и их приложения

Учебное пособие. — Москва: Российский государственный медицинский университет (РГМУ), 2018. — 85 с.В учебном пособии изложены основы теории комплексных чисел и комплексных векторов. В части, посвященной теории комплексных чисел, приведено большое количество как примеров решения типовых задач, так и задач для самостоятельного решения.
На основе вещественных векторов и их свойств вводится понятие комплексных векторов и действий над ними: такими как линейные операции, скалярное и векторное произведения, выводятся свойства перечисленных операций. На примерах задач физического характера демонстрируется эффективность методов, использующих понятия и свойства комплексных чисел и комплексных векторов. Уделено особое внимание вычислению средних по времени нелинейных операций для периодических процессов гармонического типа.
По содержанию отдельных глав пособие предназначено для студентов младших и старших курсов вузов.Введение.
Краткие исторические сведения о комплексных числах.
Комплексные числа.
Определение комплексных чисел и действия над ними.
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Задачи для самостоятельной работы.
Комплексные векторы.
Свойства геометрических (вещественных) векторов.
Алгебраическая форма комплексного вектора. Действия над комплексными векторами в алгебраической форме.
Представление комплексных векторов в ортонормированном базисе. Выражение операций над комплексными векторами через их компоненты.
Приложения комплексных чисел в геометрии и алгебре.
Геометрические приложения комплексных чисел.
Задачи для самостоятельной работы.
Решение алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.
Вводные соображения.
Нахождение корней квадратного уравнения.
Нахождение корней кубических уравнений.
Нахождение корней уравнения четвертой степени.
Приложения комплексных чисел и векторов к физическим задачам.
Исследование периодических процессов в электрических цепях.
Вводные соображения
Вынужденные колебания тока и напряжения в электрической цепи.
Мгновенная и средняя потребляемая мощность в электрической цепи.
Движение заряда и осциллятора в постоянном однородном магнитном поле.
Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле.
Движение осциллятора в постоянном однородном магнитном поле.
Плоская электромагнитная волна.
Поляризованная монохроматическая плоская электромагнитная волна.
Определение параметров поляризации волны по комплексной амплитуде.
Поверхностные токи Фуко и скин-эффект.
Нелинейные операции. Токи Фуко и выделение джоулева тепла. Поток электромагнитной энергии.
Список литературы.