Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной

Учебник для вузов. — Пер. с 3-го нем. издания под ред. Н.Е. Кочина. — Л.-М.: ОНТИ, 1934. — 372 с.При развитии теории функций можно характеризовать аналитические функции такими свойствами, которые опираются на геометрические представления и позволяют с большей легкостью, чем степенные ряды, обозреть поведение функции в целом. Построение теории функций с такой точки зрения примыкает в основном к работам Римана, проложившим новые пути и основанным не только на геометрических, но и на физических представлениях.
Целью настоящей книги и является: дать вводный обзор этой "геометрической теории функций".Предварительные понятия.
Комплексные числа.
Основные геометрические понятия.
Криволинейные интегралы.
Основы теории аналитических функций.
Условие дифференцируемости.
Обратная функция.
Определенный интеграл аналитической функции.
Теорема Коши.
Интегралы в многосвязных областях.
Примеры. Элементарные функции.
Интегральная формула Коши.
Конформное отображение.
Следствия интегральной формулы Коши.
Теорема о среднем арифметическом. Принцип максимума и лемма Шварца.
Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля.
Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса.
Ряды Тэйлора и Лорана.
Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах.
Принцип сходимости для аналитических функций.
Связь с теорией потенциала.
Представление аналитических и гармонических функций интегралов Пуассона.
Следствия.
Решение предельной задачи теории потенциала для круга.
Граничные значения аналитической функции.
Потоки.
Специальные функции и их особые точки.
Особые точки и точки скрещивания.
Наглядное представление особых простейших точек и точек скрещивания.
Линейные функции.
Функция ζ=zⁿ.
Функция ζ=1/2(z+1/z).
Логарифмическая и показательная функции.
Тригонометрические функции.
Степенная функция с произвольным показателем степени. Круговые двуугольники.
Добавление. Геометрическое значение в пространстве линейных подстановок.
Аналитическое продолжение и поверхности Римана.
Понятие аналитического продолжения.
Принцип непрерывности и принцип симметрии.
Римановы поверхности аналитических функций.
Алгебраические функции.
Конформное отображение односвязных однолистных областей.
Предварительные замечания и вспомогательные теоремы.
Доказательство теоремы Римана о конформном отображении.
Теорема однозначности.
Соответствие между контурами при конформном отображений.
Функция Грина и предельная задача теории потенциала.
Знакопеременная метода Шварца. Свойства непрерывности отображающих функций.
Теоремы искажения.
Приложения принципа максимума.
Специальные конформные отображения.
Отображение произвольного многоугольника.
Функции прямолинейного треугольника.
Отображение прямоугольника. Эллиптические функции.
Модулярные и автоморфные функции.
Теорема Пикара.
Другое доказательство теоремы Пикара.
Отображение функции круговых многоугольников, как решение дифференциальных уравнений.
Обобщение теоремы Римана. Принцип Дирихле.
Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами.
Интеграл Дирихле и формула Грина.
Принцип Дирихле.
Постановка задачи в общем виде.
Предельная задача и минимальный принцип для круга.
Леммы.
Решение минимальной задачи для специальных областей.
Непрерывная зависимость потенциалов потока от области. Решение общей минимальной задачи.
Конформное отображение на плоскость с надрезами.
Единственность конформного отображения на плоскость с надрезами.
Дальнейшие теоремы существования теории функций.
Analysis situs алгебраических Римановых поверхностей.
Абелевы интегралы и алгебраические функции на заданной Римановой поверхности.
Существование автоморфных функций с данной фундаментальной областью.
Униформизация алгебраических и аналитических функций посредством автоморфных функций с предельным кругом.
Конформное отображение подобных однолистных областей на круговые области. Теорема об униформизации с возвратными сечениями.
Модули области, подобной однолистной.
Общее понятие Римановой поверхности.
Исторические указания к последним главам.